In het kort:
Wat ik gevonden heb op internet en een paar formules van mijzelf.
Opmerkingen bij het rekenblad (ik noem het in het vervolg het spreadsheet) dat ik tijdens mijn zoektocht ontwikkeld heb.
Download het spreadsheet in Zip formaat. Het kan worden geöpend in Excel, OpenOffice, LibreOffice, etc.
De velden met formules zijn beschermd tegen per ongeluk wijzigen. Het passwoord is "Protect". (hoofdletter gevoelig)
De velden met groene tekst geven sommige verschillen of verhoudingen aan. Ze zouden slechts weinig van 0 of 1 mogen afwijken. Als je daar grote getallen ziet is er waarschijnlijk iets mis met de formules.
Inhoud:
Terminologie Ik volg hier de engelse terminologie in het spreadsheet.
In de volgorde van het spreadsheet:
Constantes
Pendulum Swing Times
Foucault Precession
Intrinsic Precession
Quality factor of the pendulum
Drive timing according to the Schumacher equation
Sensitivity of the Floor Unit adjustment
Energy in the system
Forces on the cable
Forces on the mounting point
Thermal expansion of the cable
Passage times for a certain distance
Height of tip of bob at some distance from the center
Height from top for a given excursion of the cable
Dimensions and weight of a cylindrical Bob
Dimensions and parameters of the Coils
Referenties
Artiikelen en websites over de theorie en praktijk van enkele slingers.
Terminologie.
In de literatuur over Foucault Slingers worden vaak de volgende namen gebruikt voor de diverse parameters. Ik hou me zo goed mogelijk aan deze gewoontes.
g voor de versnelling van de zwaartekracht op aarde [~9.81 m/s2] (Verschilt een klein beetje al naar de locatie)
φ (fi) voor de noordelijke of zuidelijk breedtegraad. [graden] De zuidelijk breedtegraad wordt soms negatief aangegeven.
L voor de lengte van de slinger, tussen het ophangpunt en het massa-centrum van de bob. [m]
M voor de massa van de bob. [kg] De massa van de kabel wordt meestal verwaarloosd.
T voor de periodetijd van de slinger. [sec]
ω (omega) voor de frequentie van de slinger. [rad/sec]
ω0 (omega-nul) voor de frequentie bij een zeer kleine amplitude. [rad/sec]
a voor de amplitude van de slinger, cq. die van de lange as van de ellips. [m]
b voor de amplitude van de korte as van de ellips. [m]
ΩF (Omega-F) voor de Foucault precessiie. [rad/sec]
ΩI (Omega-I) voor de intrinsieke precessie van de elliptische beweging. [rad/sec]
ΩA (Omega-A) voor de siderische rotatie van de aarde. [rad/sec] 1 siderische rotatie duurt ca. 23:56:4.14 [hh:mm:ss.ss]
Θ (Theta) voor de hoek bij maximale uitslag. [rad]
Q voor de Q factor van de slinger. [dimensieloos]
E voor de energie in het systeem. [Joule] (gaat heen-en-weer tussen potentiele en kinetische energie)
In de volgorde van het spreadsheet
Constants
De zwaartekrachtsversnelling is op verschillende plaatsen iets verschillend.
Ik vond voor de omgeving van Arnhem 9.8123 m/s2. Bron: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Valversnelling_in_Nederland.svg
De siderische dag is gedefiniëerd als de rotatie van de aarde ten opzichte van de verre "vaste" sterren. De bekende 24-uurs dag refereert aan de draaiing van de aarte t.o.v. de zon. De aarde draait echter ook om de zon in 1 jaar. Dat verschilt ongeveer 1/365 deel van een dag.
Pendulum swing times
De precieze periode van een slinger is niet gemakkelijk te berekenen omdat die ook een beetje afhangt van de amplitude van de slinger. De meeste formules zijn benaderingen.
De meest bekende is:
T = 2 π √ (L/g) [sec] (1)
De theoretisch exacte oplossing heeft een oneindig aantal termen met een regelmatig patroon (2)
T = 2 π √ (L/g) * [ 1+ (1/2)2 sin2(Θ0/2) + ((1*3) / (2*4))2 sin4(Θ0/2 ) + ((1*3*5) / (2*4*6))2sin6(Θ0/2 ) + ((1*3*5*7) / (2*4*6*8))2 sin8(Θ0/2 ) + ...] [sec] waar Θ0 = arcsin (a/L)
Ik geef onderaan voor deze formule een stukje FreePascal code om het uit te rekenen.
Verondersteld exact, maar convergeert met minder termen die echter een (voor mij) onbekend patroon hebben
T = 2 π √ (L/g) * [ 1+ 1/16 Θ02 + 11 / 3072 Θ04 + 173 / 737280 Θ06 + 22931 / 1321205760 Θ08 + ...] [sec] (3)
waar Θ0 = arcsin (a/L)
Een benadering met redelijk resultaat, zonder een oneindige reeks van termen (4) T = 2 π √ (L/g) *[cos(θ/2)]^-{0.5*[cos(θ/2)]0.125}
De formule afeleid door Lima and Arun:
T = -2 π √ (L/g) * [ ln(a) / (1-a) ] [sec] where a = cos(Θ0/ 2) (5)
Vooralsnog gebruik ik formule (2) , uitgebreid over 3 termen.
The Foucault Precession is
ΩF = ΩA / sin φ / [1 - (3/8 * a2 / L2)] [rad/sec] Voor NL op 52° NB resulteert dat in iets meer dan 31 uur voor 1 omwenteling (6)
Voor een kleine amplitude van de slinger kan het deel tussen [ ] weggelaten worden Het verschil is een paar minuten. (7)
In mijn berekeningen gebruik ik de complete formule.
Intrinsic Precession of the Ellipse
Ωe = 3/8 * ϖ0 * ab / L2 [rad/sec] (8)
waarin ϖ0 = 2 * π / T [rad/sec]
The Qualityfactor
De kwaliteitsfactor van een slinger (ook van een elektronische slingerkring zoals in een radio ontvanger) is de verhouding tussen de energie in het systeem en de hoeveelheid energieverlies per periode.
Bij een Foucaultslinger is het vrijwel ondoenlijk om de Q in het vooruit te berekenen omdat de verliezen, voornamelijk de luchtweerstand van de bob slecht te voorspellen zijn.
Er zijn echter een paar methoden om de Q van een bstaande slinger te meten.
1/ Meet de amplitude van de slinger, stop de aandrijving en tel het aantal perioden tot de amplitude gehalveerd is. Vermenigvuldig met 4.53 voor de Q.
2/ Idem, maar tel tot de amplitude 37% van de begin waarde is. Vermenigvuldig met pi and je hebt de Q.
3/ Gebruik beide methoden en neem het gemiddelde.
Ik gebruikte alleen methode 2.
Q = π * τ / T [-] (9)
waar τ de tijd is die de dlinger erover doet om 37% van de beginamplitude te bereiken na het stoppen van de aandrijving.
Q is ook gedefinieerd als:
Q = 2 π E / Eloss [-] (10)
waarin Eloss het energieverlies per periode is
Eloss = 2 π E / Q [J] (11)
en dit is de energie die per periode moet worden toegevoegd om de slinger in beweging te houden.
De helft daarvan per halve periode..
Drive timing according to the Schumacher equation
Schumacher (download) beschrijft in zijn artikel dat als de aandrijfpuls op een speciaal moment gedurende de zwaai gegeven wordt, de precessie van de ellips (niet de ellips zelf) perfect onderdrukt kan worden.
Het blijkt dat zijn formule [19 in het artikel] niet analytisch opgelost kan worden, de enige manier is door een iteratie.
Wijzig het veld "Drive Position" zo dat de "Ratio Left / Right" zo goed mogelijk 1.0 geworden is. "Drive Position" in meter of in samples na de nuldoorgang geeft dan het optimale aanstuur moment.
Merk op dat Schumacher's formule tamelijk gevoelig is voor de Q en voor de amplitude van de slinger. Je moet de Q kennen en de amplitude goed onder controle houden.
Sensitivity of the Floor Unit adjustment
Gebaseerd op 0.1 mm verplaatsing per rotatie van de knop. Zie Vloerunit
Energy in the system
De energie in het systeem kan op twee manieren worden uitgerekend. Vanuit het hoogte verschil van de bob bij de nuldoorgang en bij de maximale amplitude, en vanuit de snelheid die de bob heeft bij de nuldoorgang.
De kinetische energie in het laagste punt, dat is bij de hoogste snelheid, is
Ev = 1/2 M (2 π / T)2 [J] (12)
Dit geeft een geringe fout, want er is aangenomen dat de beweging van de slinger zuiver harmonisch of sinusvormig is en dat is 'ie niet. De feitelijke beweging bevat oneven harmonischen.
De hoogte die bij de maximale uitslag bereikt wordt is:
h = L - √ (L2 - a2) [m] (13)
en dus is de potentiele energie (potential energy) daar:
Ep = g * M * h [J] (14)
Er moet zijn: Ev = Ep = E (15)
Forces on the cable
De maximale kracht in de kabel treedt op bij de nuldoorgang, daar telt de middelpuntvliedende kracht op bij het gewicht van de bob
Fmax = M * g + M * v2 / L [N] (16)
waarbij v de snelheid bij de nuldoorgang is, benaderd door v = 2 * π * a / T
De geringste kracht treedt op bij de maximale zwaai. De centrufugaalkracht is daar nul en het gewicht van de bob (in zuiver vertikale richting) wordt ontbonden in een kracht in de kabel en een horizontale kracht die de bob weer in beweging brengt.
Fmin = M * g * cos(Θ0) [N] (17)
waarin Θ0 de hoek bij maximale uitslag: arcsin (L / a)
Forces on the mounting point
Het kan interessant zijn om eens naar deze getallen te kijken om de stabiliteit van het ophangpunt te beoordelen. De geringste beweging van het ophangpunt zal de prestaties van de slinger nadelig beinvloeden.
Thermal expansion of the cable
Dit kan belangrijk zijn, vooral bij zeer lange slingers, omdat het de hoogte boven de vloerunit beinvloedt, en daarmee het effect van de aandrijfspoel.
De thermische uitzetting van het gebouw speelt echter ook mee, en die is vrijwel nooit bekend.
Passage times for a certain distance
Hiermee reken je de passertijd in samples uit voor een zekere afstand t.o.v. het centrum. Deze is o.m. nodig voor het instellen van de tijd waarop een passage te verwachten is.
Ik heb hier aangenomen dat de bob een zuiver harmonische (sinusvormige) beweging maakt, en dat is niet het geval. De afwijking is meestal kleiner dan een paar promille.
Height of the tip of the bob at some distance from center
De hoogte van de punt van de bob op een bepaalde afstand van het centrum
ht = Lt * (1-cos(Θ)) waarin Θ = asin (dt/Lt) en Lt de lengte vanaf het draaipunt tot aan de punt van de bob is.
Height from top for a given excursion of the cable
Deze gebruikte ik voor het berekenen van de hoogte waarop de magneet voor de Hall-sensors gemonteerd moet worden voor een bepaald uitslag daar.
Dimensions and weight of a cylindrical Bob
Ontwerp je eigen Bob.
Dimensions and parameters of the Coils
Afmetingen volgens deze tekening:
Number of wires parallel.
Voor de aandrijfspoel had ik op zeker moment alleen veel te dik of veel te dun draad beschikbaar. Ik heb toen een aantal dunne draden parallel gewikkeld.
Dat vereist wat extra rekenwerk voor de uiteindelijke weerstand van de spoel.
Diameter of wire
Ik heb de dikte van de isolatie verwaarloosd.
Fill Factor.
De vulfactor is hier de verhouding tussen de totale doorsnede van de koperdraden en de beschikbare ruimte zoals gedefinieerd door de afmetingen van het wikkellichaam. Als alle ruimte keurig netjes gevuld is met rond koperdraad dan mag je een vulfactor van π / 4 = 0.78 verwachten. In de praktijk zal het altijd minder zijn.
Als de uitkomst veel kleiner is dan is er ruimte voor meeer windingen. Bij groter is er geen plaats voor al het koperdraad.
References:
(1) vind je in nagenoeg elk boek over Foucault slingers.
(2) en (3) https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mechanics)#Arbitrary-amplitude_period
Hieronder de FreePascal code voor het berekenen van de exacte slingertijd.
function ExactSwingTime (Length, Amplitude, Gravity: extended): extended;
// we use the formula given in:
// https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mechanics)#Arbitrary-amplitude_period
// as the Legendre polynomial solution
var Theta, SinHalfTheta, Term0, Term1, Term2, Term3, Term4, Term5: extended;
begin
Theta:= arcsin (Amplitude / Length); // angle at maximum position
SinHalfTheta:= sin (Theta / 2);
Term0:= 2 * pi * sqrt (Length / Gravity); // the classical approximation
Term1:= sqr (1 / 2) * power (SinHalfTheta, 2);
Term2:= sqr (3 / 8) * power (SinHalfTheta, 4);
Term3:= sqr (15 / 48) * power (SinHalfTheta, 6);
Term4:= sqr (105 / 384) * power (SinHalfTheta, 8);
Term5:= sqr (935 / 3840) * power (SinHalfTheta, 10);
ExactSwingTime:= Term0 * (1 + Term1 + Term2 + Term3 + Term4 + Term5);
// show the contribution of each term
writeln (format ('%20.18f, %20.18f, %20.18f, %20.18f, %20.18f, %20.18f',
[Term0, Term1, Term2, Term3, Term4, Term5]));
end;
(4) komt van een niet meer terug te vinden link.
(5) vond ik in (download) Lima and Arun
(6), (7) zonder de term tussen [ ] vind je in veel publicaties ove de Foucault slinger.
De term tussen [ ] vond ik in (download) Haringx and Suchtelen
(8) -en verder zijn algemeen bekend in mechanica en kinematica.
Artikelen en websites over de theorie en de praktijk van de Foucault slinger. (Geen volledig overzicht)
De Nederlandse natuurkundige Heike Kamerlingh Onnes (ja, die van het vloeibare helium en de supergeleiding) is in 1879 in Groningen afgestudeerd op de Foucault slinger.
In zijn proefschrift (download) (in het NL, ik heb geen weet van een engelse vertaling, er schijnt een Duitse versie te bestaan) beschrijft hij naast diepgaande wiskunde over o.m. het ellips probleem ook gedetailleerd over de constructie van de relatief korte slinger waarmee hij experimenteerde. Daar zaten een paar heel slimme details in.
De titel van zijn proefschrift luidt: "Nieuwe bewijzen voor de aswenteling der Aarde".
Bron: www.lorentz.leidenuniv.nl/history/proefschriften/sources/Kamerlingh_Onnes_1879.pdf.
Schulz-DuBois “Foucault Pendulum Experiment by Kamerlingh Onnes and degenerated Perturbation Theory” bevat een hommage aan Kamerlingh-Onnes.
Cartmell et al beschrijven de problemen die je tegenkomt als je een extreem nauwkeurige slinger wilt bouwen om een bepaald relativistisch effect aan te tonen.
Crane (download) elimineert de precessie van de ellips (niet de ellips zelf) met een afstotende magneet in het centrum. De aandrijving is afwisisselend l aantrekkend als afstotend.
Lima and Arun (download) leiden een nauwkeurige formule af voor de slingertijd bij grotere amplitude.
Longden (download) beschrijft enkele constructies voor het ophangen van een slinger zo dat ellipsvorming beperkt blijft. Ik veronderstel dat hij niet wist dat ellipsvorming fundamenteel is, zelfs met de meest perfecte ophanging.
Roland Szostak (download) bouwt een eenvoudige slinger voor in scholen Hij geeft aan dat afstotende aandrijving de voorkeur geniet boven aantrekkende, maar beargumenteert dat met een schetsje dat naar mijn bescheiden inzicht het tegengestelde laat zien.
Schumacher (download) leidt af dat als een afstotende puls op het juiste moment in de zwaai wordt gegeven de precessie van de ellips (niet de ellips zelf) volledig geëlimineerd kan worden. De afstand d waarop de impuls gegeven moet worden hangt alleen af van de lengte, de amplitude en de Q-factor van de slinger.
Het blijkt dat naarmate de Q hoger is, de impuls dichter bij de nuldoorgang gegeven moet worden.
Mijn experimenten bevestigen deze omstandigheid. Bij allle slingers die ik tot nog toe bedreven heb zag ik een afwisselend linksom en rechtsom draaiende ellips. De omdraaiingen vonden steeds plaats in de buurt van Oost-West en Noord-Zuid overgangen.
Als de impuls te vroeg gegeven wordt is de ellips-precessie overgecompenseerd, d.w.z. gedurende een linksom draaiende ellips ging de precessie rechtsom en v.v. Bij een te late impuls was alles net andersom.
Pippard (download) behandelt een aandrijfmethode waarbij het ophangpunt periodiek opgetild wordt en weer zakt, ook bekend als de piston aandrijving.
Hij verwijst naar een boek van hem "The physics of vibration" (download)
Haringx en Suchtelen (download) vertellen over de slinger in het gebouw van de Veregde Naties in New York, een geschenk van Nedeland in 1955. Bijzonder is hier de manier waarop het principe van de Charron ring uitgevoerd is.
Giacomo Torzo (download) beschrijft de slinger in Padova (it). Er is ook een aardige youtube video en een interview met Giacomo (Italiaans gesproken).
Walter Lewin (video) demonstreert in zijn laatste college dat de periode van een slinger afhankelijk is van de amplitude, maar niet van de massa van de bob. Hij neemt zelf de rol van bob op zich, en hij kan prachtige stippellijnen op het bord tekenen. Hij doet ook nog een paar andere natuurkunde proeven.
Professor Kielkopf beschrijft een hoop details van de slinger in de (download) University of Louisville, KY, USA
Salva et al (download) beschrijven een korte slinger met wervelstroom demping en een volgmechanisme met Hall sensors.
Salva noemt E.O. Schulz-DuBois, Am. J. Phys. 88, 173 (1969) als een referentie naar het werk van Kamerlingh Onnes. I heb dat niet kunnen bevestigen..
Witzel (link) beschrijft een korte slinger met piston aandrijving en een aantrekkende magneet om ellipsvorming tegen te gaan.
Een fabrikant van Foucault slingers (link) heeft diverse handleidingen op de website staan. Die onthullen aardig wat over de gebruikte constructies.